设 $\alpha$ 为复数，$\overline \alpha$ 表示 $\alpha$ 的共轭，已知 $\left|\alpha-\overline \alpha\right|=2\sqrt 3$ 且 $\dfrac{\alpha}{\overline\alpha^2}$ 为纯虚数，则 $|\alpha|$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年北京大学博雅计划数学试卷
【标注】
【答案】
AC
【解析】
设 $\alpha=r(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta)$，则 $\dfrac {\alpha}{\overline\alpha}$ 的幅角为 $\theta-(-2\theta)=3\theta=\dfrac {\pi}2+k\pi,k\in\mathbb{Z}$，从而有 $\theta=\dfrac {\pi}6+\dfrac k3\pi,k\in\mathbb{Z}$．由题意，$$|\alpha-\overline\alpha|=2\left|r\sin\left(\dfrac{k\pi}3+\dfrac{\pi}6\right)\right|=2\sqrt 3,$$因此 $r=2\sqrt 3$ 或 $r=\sqrt 3$，对应的 $\alpha=\pm3\pm\sqrt 3{\rm i}$ 或 $\alpha=\pm\sqrt 3{\rm i}$．
题目
答案
解析
备注
