设 $P$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的动点，$F_1,F_2$ 为椭圆的两个焦点，$I$ 为 $\triangle PF_1F_2$ 的内心，求点 $I$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1$（$y\ne 0$），其中 $c^2=a^2-b^2$
【解析】
令 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$，则 $\sin\theta\ne 0$．三角形 $PF_1F_2$ 的面积$$S=\dfrac 12\cdot 2c\cdot|b\sin\theta|=\dfrac 12(2c+2a)\cdot r,$$其中 $r$ 为内切圆的半径，解得$$r=\dfrac{bc\cdot|\sin\theta|}{a+c}=|y_I|.$$另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得$$(c-x_I)-(x_I+c)=|PF_1|-|PF_2|=(a-c\cos\theta)-(a+c\cos\theta),$$从而有 $x_I=c\cos\theta$．消去 $\theta$ 得到点 $I$ 的轨迹方程为\[\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.\]
答案
解析
备注
