查看数据源：59ba4f6c98483e0009c73335
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 的短轴长为 $2\sqrt{3}$，右焦点为 $F(1,0)$，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上异于左、右顶点 $A,B$ 的一点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的方程
    >
    椭圆的标准方程
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的性质证明问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的性质
    >
    椭圆的垂径定理
  1. 求椭圆 $C$ 的方程；
    标注
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      椭圆
      >
      椭圆的方程
      >
      椭圆的标准方程
    答案
    $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$
    解析
    略
  2. 若直线 $AM$ 与直线 $x=2$ 交于点 $N$，线段 $BN$ 的中点为 $E$．证明：点 $B$ 关于直线 $EF$ 的对称点在直线 $MF$ 上．
    标注
    • 题型
      >
      解析几何
      >
      圆锥曲线的性质证明问题
    • 知识点
      >
      解析几何
      >
      椭圆
      >
      椭圆的性质
      >
      椭圆的垂径定理
    答案
    略
    解析
    根据椭圆的垂径定理的推论，可设\[AM:x=\dfrac 1ky-2,BM:x=-\dfrac{4k}3y+2,\]于是可得\[M\left(\dfrac{6-8k^2}{3+4k^2},\dfrac{12k}{3+4k^2}\right),\]因此直线 $MF$ 的斜率为\[\dfrac{\dfrac{12k}{3+4k^2}}{\dfrac{6-8k^2}{3+4k^2}-1}=\dfrac{4k}{1-4k^2}=\dfrac {2\cdot(2k)}{1-(2k)^2},\]而直线 $EF$ 的斜率为 $2k$，因此命题得证．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
0.113936s