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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 的短轴长为 $2\sqrt{3}$，右焦点为 $F(1,0)$，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上异于左、右顶点 $A,B$ 的一点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    解析几何
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    椭圆
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    圆锥曲线的性质证明问题
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    坐标变换
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    坐标系下的伸缩变换
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    直线与圆锥曲线
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    极点极线的对偶性质
  1. 求椭圆 $C$ 的方程；
    标注
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      椭圆的方程
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      椭圆的标准方程
    答案
    $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$
    解析
    略
  2. 若直线 $AM$ 与直线 $x=2$ 交于点 $N$，线段 $BN$ 的中点为 $E$．证明：点 $B$ 关于直线 $EF$ 的对称点在直线 $MF$ 上．
    标注
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    答案
    略
    解析
    利用仿射变换不难证明直线 $ME$ 与椭圆相切．设直线 $ME$ 与 $x$ 相交于点 $T$，利用椭圆的极点极线性质可得 $M$ 点的横坐标 $x_M$ 与 $T$ 点的横坐标 $x_T$ 满足\[x_M\cdot x_T=4,\]而\[\begin{split}
    \angle MFE=\angle BFE &\Leftarrow \dfrac{ME}{ET}=\dfrac{FM}{FT}\\
    &\Leftarrow \dfrac{2-x_M}{x_T-2}=\dfrac{2-\dfrac 12x_M}{x_T-1}\\
    &\Leftarrow x_M\cdot x_T=4,
    \end{split}\]因此原命题得证．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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