设 $a,b,c$ 是正实数，且满足 $abc=1$．对任意正整数 $n\geqslant 2$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由排序不等式可知，\[\begin{split}
\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+b}}
&\geqslant\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b+c}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{a+b}{\sqrt[n]{a+b}}\right)\\
&\geqslant\dfrac{3}{2}\cdot\left[(a+b)(b+c)(c+a)\right]^{\frac13\left(1-\frac1n\right)}\\
&\geqslant\dfrac{3}{2}\cdot 2^{1-\frac1n}\\
&=\dfrac{3}{\sqrt[n]2}.
\end{split}\]
\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+b}}
&\geqslant\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b+c}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{a+b}{\sqrt[n]{a+b}}\right)\\
&\geqslant\dfrac{3}{2}\cdot\left[(a+b)(b+c)(c+a)\right]^{\frac13\left(1-\frac1n\right)}\\
&\geqslant\dfrac{3}{2}\cdot 2^{1-\frac1n}\\
&=\dfrac{3}{\sqrt[n]2}.
\end{split}\]
答案
解析
备注
