设 $a,b,c$ 是正实数，且满足 $abc=1$．对任意正整数 $n\geqslant 2$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用权方和不等式，有\[\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}&=\sum_{cyc}\dfrac{a^{1+\frac 1n}}{(ab+ca)^{\frac 1n}}\\
&\geqslant \dfrac{(a+b+c)^{1+\frac 1n}}{(2ab+2bc+2ca)^{\frac 1n}}\\
&=\dfrac{(a+b+c)^{1+\frac 1n}}{\sqrt[n]{2}\cdot (ab+bc+ca)^{\frac 1n}}
,\end{split}\]因此只需要证明\[(a+b+c)^{1+\frac 1n}\geqslant 3(ab+bc+ca)^{\frac 1n},\]也即\[(a+b+c)^{n+1}\geqslant 3^n\cdot (ab+bc+ca).\]而\[\begin{split}(a+b+c)^{n+1}&=(a+b+c)^2\cdot (a+b+c)^{n-1}\\
&\geqslant 3(ab+bc+ca)\cdot \left(3\sqrt[3]{abc}\right)^{n-1}\\
&=3^n\cdot (ab+bc+ca),\end{split}\]因此原不等式得证．
&\geqslant \dfrac{(a+b+c)^{1+\frac 1n}}{(2ab+2bc+2ca)^{\frac 1n}}\\
&=\dfrac{(a+b+c)^{1+\frac 1n}}{\sqrt[n]{2}\cdot (ab+bc+ca)^{\frac 1n}}
,\end{split}\]因此只需要证明\[(a+b+c)^{1+\frac 1n}\geqslant 3(ab+bc+ca)^{\frac 1n},\]也即\[(a+b+c)^{n+1}\geqslant 3^n\cdot (ab+bc+ca).\]而\[\begin{split}(a+b+c)^{n+1}&=(a+b+c)^2\cdot (a+b+c)^{n-1}\\
&\geqslant 3(ab+bc+ca)\cdot \left(3\sqrt[3]{abc}\right)^{n-1}\\
&=3^n\cdot (ab+bc+ca),\end{split}\]因此原不等式得证．
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