设 $a,b,c$ 是正实数，且满足 $abc=1$．对任意正整数 $n\geqslant 2$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a+b+c=t$，令 $f(x)=\dfrac{x}{(t-x)^{\frac1n}} (0<x<t)$，则\[
f''(x)=\dfrac{2nt+(1-n)x}{n^2(t-x)^{2+\frac1n}}>0,
\]故由琴生不等式可知\[\dfrac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\geqslant f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right),\]即\[
\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+b}}
\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}\cdot\left(\dfrac{t}{3}\right)^{1-\frac1n}
\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}.
\]
f''(x)=\dfrac{2nt+(1-n)x}{n^2(t-x)^{2+\frac1n}}>0,
\]故由琴生不等式可知\[\dfrac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\geqslant f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right),\]即\[
\dfrac{a}{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt[n]{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt[n]{a+b}}
\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}\cdot\left(\dfrac{t}{3}\right)^{1-\frac1n}
\geqslant \dfrac{3}{\sqrt[n]2}.
\]
答案
解析
备注
