已知 $a,b,c>0$，$a+b^2+c^3=3$，求 $3a^2+4b^3+9c^4$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{25\sqrt 5-29}2$
【解析】
用拉格朗日乘数法，有\[F(a,b,c,\lambda )= 3a^2+4b^3+9c^4+\lambda\left(a+b^2+c^3-3\right),\]于是解方程组\[\begin{cases}6a+\lambda=0,\\ 12b^2+2b\lambda =0,\\ 36c^3+3c^2\lambda =0, \\ a+b^2+c^3-3=0,\end{cases}\]可得\[a=b=2c=\sqrt 5-1,\]此时 $3a^2+4b^3+9c^4$ 取得最小值 $\dfrac{25\sqrt 5-29}2$．
答案
解析
备注
