已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k\left(k>0\right)$ 的直线与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点．若 $\overrightarrow {AF} = 3\overrightarrow {FB} $，则 $k = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国II卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
先考虑 $k>0$ 的情况，如图，作椭圆的右准线 $l$，过 $A,B$ 作准线的垂线 $AM,BN$，再过点 $B$ 作 $AM$ 的垂线 $BH$，由椭圆的第二定义知$$AM=\dfrac 1eAF,BN=\dfrac 1eBF,AM=3BN,$$
记 $BF=m$，则有 $AF=3m$，$AH=2BN=\dfrac 2em=\dfrac 4{\sqrt 3}m$，从而在 $\triangle BAH$ 中，有$$\cos\angle BAH=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac 1{\sqrt 3},$$所以 $\tan\angle BAH=\sqrt 2$．当 $k<0$ 时，由对称性知 $k=-\sqrt 2$．
记 $BF=m$，则有 $AF=3m$，$AH=2BN=\dfrac 2em=\dfrac 4{\sqrt 3}m$，从而在 $\triangle BAH$ 中，有$$\cos\angle BAH=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac 1{\sqrt 3},$$所以 $\tan\angle BAH=\sqrt 2$．当 $k<0$ 时，由对称性知 $k=-\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
