已知 $a,b,c\geqslant 0$，$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $p=a+b+c$，$q=ab+bc+ca$，$r=abc$，则条件即 $q=1$，欲证不等式等价于\[2\sum_{cyc}(a+b)(a+c)\geqslant 5(a+b)(b+c)(c+a),\]即\[5r+2p^2-5p+2\geqslant 0.\]若 $p>2$，则不等式显然成立；若 $p \leqslant 2$，则由舒尔不等式，有\[p^3+9r\geqslant 4pq,\]因此\[5r+2p^2-5p+2\geqslant 5\cdot \dfrac {4p-p^3}9+2p^2-5p+2=\dfrac 19(2-p)(5p^2-8p+9)\geqslant 0,\]不等式也成立．
综上所述，原不等式得证．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
