已知 $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=n$，求 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i\cdot 2^{x_i}\right)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑切线放缩，可以证明\[\forall x\in \mathbb R,x\cdot 2^x\geqslant \left(\ln 4+2\right)(x-1)+2,\]因此\[\sum_{i=1}^n\left(x_i\cdot 2^{x_i}\right)\geqslant \left(\ln 4+2\right)\sum_{i=1}^n\left(x_i-1\right)+2n=2n,\]当 $x_i=1$ 时取到等号，从而得到所求的最小值为 $2n$．
答案
解析
备注
