已知 $a,b,c>0$，$abc=1$，求 $p=\dfrac{bc}{1+b^2+c^2}+\dfrac{ca}{1+c^2+a^2}+\dfrac{ab}{1+a^2+b^2}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意有\[\begin{split}
p&\leqslant \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+2bc}\\
&=\sum_{cyc}\dfrac{1}{a+2}\\
&=\dfrac{12+4(a+b+c)+ab+bc+ca}{8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc}
,\end{split}\]而\[ab+bc+ca\geqslant 3\left(ab\cdot bc\cdot ca\right)^{\frac 13}=3,\]于是有 $p\leqslant 1$．又当 $(a,b,c)=(1,1,1)$ 时取得等号，因此所求 $p$ 的最大值为 $1$．
p&\leqslant \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+2bc}\\
&=\sum_{cyc}\dfrac{1}{a+2}\\
&=\dfrac{12+4(a+b+c)+ab+bc+ca}{8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc}
,\end{split}\]而\[ab+bc+ca\geqslant 3\left(ab\cdot bc\cdot ca\right)^{\frac 13}=3,\]于是有 $p\leqslant 1$．又当 $(a,b,c)=(1,1,1)$ 时取得等号，因此所求 $p$ 的最大值为 $1$．
答案
解析
备注
