已知 $x>0$，求 $y=\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}+2\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 2}2$
【解析】
令 $x=\tan \theta$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则\[y=\cos \theta+2\sqrt{\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta+\cos \theta}},\]其导函数\[y'_{\theta}=\sqrt{\dfrac{1}{\sin\theta\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^3}}-\sin \theta=\sqrt{\dfrac{1}{\left(\sin ^2\theta+\sin\theta\cos\theta\right)^3}\cdot \sin^2\theta}-\sqrt{\sin^2\theta},\]而\[\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta=\dfrac {1+\sqrt 2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}4\right)}2,\]于是当 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 时，$y_{\theta}$ 单调递增；当 $\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，$y_{\theta}$ 单调递减；当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时，$y_{\theta}$ 取得最大值 $\dfrac{3\sqrt 2}2$．因此所求的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 2}2$．
答案
解析
备注
