设 $k,m$ 为实数，不等式 $\left|x^2-kx-m\right|\leqslant 1$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立．证明：$b-a\leqslant 2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in [a,b],x^2-1\leqslant kx+m\leqslant x^2+1.\]如图，考虑直线 $y=kx+m$ 截图中阴影部分得到的线段在 $x$ 轴上的投影长度．不妨设 $k\geqslant 0$．分别记\[\Delta_1=k^2+4m-4,\Delta_2=k^2+4m+4.\]
情形一 直线 $y=kx+m$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 相交，即 $\Delta_1>0$．且有\[\begin{split}b-a&\leqslant \left|\dfrac{k+\sqrt{\Delta_2}}{2}-\dfrac{k+\sqrt{\Delta_1}}{2}\right|\\
&=\dfrac 12\left|\sqrt{k^2+4m+4}-\sqrt{k^2+4m-4}\right|\\
&=\dfrac{4}{\sqrt{k^2+4m+4}+\sqrt{k^2+4m-4}}\\
&<\dfrac{4}{\sqrt{8}+\sqrt{0}}\\
&=\sqrt 2.\end{split}\]情形二 直线 $y=kx+m$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 相离且与抛物线 $y=x^2-1$ 相交，此时将直线 $y=kx+m$ 向上平移，直至与抛物线 $y=x^2+1$ 相切可以使得线段投影长度增大，因此此时无法取得最大值．
情形三 直线 $y=kx+m$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 相切，即 $\Delta_1=0$．此时\[b-a\leqslant \dfrac{2\sqrt{\Delta_2}}{2}=2\sqrt 2.\]综上所述，原命题得证．
&=\dfrac 12\left|\sqrt{k^2+4m+4}-\sqrt{k^2+4m-4}\right|\\
&=\dfrac{4}{\sqrt{k^2+4m+4}+\sqrt{k^2+4m-4}}\\
&<\dfrac{4}{\sqrt{8}+\sqrt{0}}\\
&=\sqrt 2.\end{split}\]
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