设 $x_1,x_2,x_3$ 是非负实数，满足 $x_1+x_2+x_3=1$，求 $\left(x_1+3x_2+5x_3\right)\left(x_1+\dfrac{x_2}3+\dfrac{x_3}5\right)$ 的最小值和最大值．
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛A卷（一试）
【标注】
【答案】
最小值为 $1$，最大值为 $\dfrac 95$
【解析】
设题中代数式为 $M$，则\[M=x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dfrac{10}3x_1x_2+\dfrac{34}{15}x_2x_3+\dfrac{26}5x_3x_1\geqslant \left(x_1+x_2+x_3\right)^2=1,\]等号当 $(x_1,x_2,x_3)=(1,0,0)$ 时取得，因此 $M$ 的最小值为 $1$．
另一方面，有\[5M=\left(x_1+3x_2+5x_3\right)\left(5x_1+\dfrac 53x_2+x_3\right)\leqslant \left(3x_1+\dfrac 73x_2+3x_3\right)^2\leqslant \left(3x_1+3x_2+3x_3\right)^2,\]等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac 12,0,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此 $M$ 的最大值为 $\dfrac 95$．
另一方面，有\[5M=\left(x_1+3x_2+5x_3\right)\left(5x_1+\dfrac 53x_2+x_3\right)\leqslant \left(3x_1+\dfrac 73x_2+3x_3\right)^2\leqslant \left(3x_1+3x_2+3x_3\right)^2,\]等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac 12,0,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此 $M$ 的最大值为 $\dfrac 95$．
答案
解析
备注
