已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4S_{n}=3a_{n}+2^{n+1}(n\geqslant 0,n\in\mathbb Z)$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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求 $a_{n}$ 与 $a_{n-1}$ 之间的关系式；标注答案$a_{n}=2^{n}-3a_{n-1}(n\in\mathbb N^{*})$解析$4S_{n}=3a_{n}+2^{n+1}(n\geqslant 0,n\in\mathbb Z)$，$4S_{n-1}=3a_{n-1}+2^{n}(n\in\mathbb N^{*})$．相减得\[4a_{n}=3a_{n}-3a_{n-1}+2^{n},\]所以 $a_{n}=2^{n}-3a_{n-1}(n\in\mathbb N^{*})$．
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求使得数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots$ 递增的所有 $a_{0}$ 的取值．标注答案$a_{0}=\dfrac{2}{5}$解析两侧同除 $2^{n}$ 得 $\dfrac{a_{n}}{2^{n}}=-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+1$，所以有\[\dfrac{a_{n}}{2^{n}}=\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}-\dfrac{2}{5}\right),\]于是有\[\dfrac{a_{n}}{2^{n}}=\dfrac{2}{5}=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}\left( \dfrac{a_{0}}{2^{0}}-\dfrac{2}{5}\right),\]所以\[a_{n}=\left[\dfrac{1}{5}+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)\right]\cdot 2^{n},\]故 $a_{n}=(-3)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+2^{n}\cdot \dfrac{2}{5}$．从而\[\begin{split}a_{n+1}-a_{n}&=\left[(-3)^{n+1}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+2^{n+1}\cdot \dfrac{2}{5}\right]-\left[(-3)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+2^{n}\cdot \dfrac{2}{5}\right]\\&=\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)\left[(-3)^{n+1}-(-3)^{n}\right]+\dfrac{2}{5}\cdot 2^{n}\\&=\dfrac{2}{5}\cdot 2^{n}\left[\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+1\right].\end{split}\]若 $a_{0}>\dfrac{2}{5}$，则对充分大的奇数 $n$，$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+1<0\Rightarrow a_{n+1}<a_{n}$；
若 $a_{0}<\dfrac{2}{5}$，则对充分大的偶数 $n$，$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{n}\left(a_{0}-\dfrac{2}{5}\right)+1<0\Rightarrow a_{n+1}<a_{n}$．
综上，$a_{0}=\dfrac{2}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
