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设 $a,b,c$ 是实数，方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有 $3$ 个正根，证明 $2a^3+9c\leqslant 7ab$，并且等号成立当且仅当这 $3$ 个正根相等．
【难度】
【出处】
2014年北京大学全国优秀中学生体验营数学试卷
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
    >
    三次方程的韦达定理
  • 题型
    >
    不等式
    >
    代数不等式的证明
【答案】
略
【解析】
解法一 设方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 的 $3$ 个正根为 $x_1,x_2,x_3$，由韦达定理可知\begin{align*}
x_1+x_2+x_3&=-a,\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=b,\\
x_1x_2x_3&=-c,
\end{align*}故\begin{align*}
7ab-2a^3-9c
&=-7\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)+2\left(x_1+x_2+x_3\right)^3+9x_1x_2x_3\\
&=\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-3x_1x_2-3x_2x_3-3x_3x_1\right)+9x_1x_2x_3\\
&=2x_1^3+2x_2^3+2x_3^3-x_1^2x_2-x_1x_2^2-x_2^2x_3-x_2x_3^2-x_3^2x_1-x_3x_1^2\\
&=\displaystyle\sum\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)-\displaystyle\sum x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\\
&=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)\left(x_3-x_1\right)^2\\
&\geqslant 0,
\end{align*}所以 $2a^3+9c \leqslant 7ab$，并且等号成立当且仅当这 $3$ 个正根相等．
解法二 设方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 的 $3$ 个正根为 $x_1,x_2,x_3$，由韦达定理可知\begin{align*}
x_1+x_2+x_3&=-a,\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=b,\\
x_1x_2x_3&=-c.
\end{align*}由舒尔不等式可知，\[
\left(x_1+x_2+x_3\right)^3-4\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)+9x_1x_2x_3\geqslant 0,
\]即 $-a^3+4ab-9c \geqslant 0$．故欲证 $2a^3+9c \leqslant 7ab$，只需证明\[
-a^3+3ab\geqslant 0,
\]即证明\[
\left(x_1+x_2+x_3\right)^2\geqslant 3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)
\]即可．
而 $\left(x_1+x_2+x_3\right)^2\geqslant 3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)$ 显然成立．证毕．
答案 解析 备注
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