已知圆 $O:x^2+y^2=16$，$A,B$ 为圆与 $x$ 轴的两个不同的交点，$l_1,l_2$ 是圆 $O$ 在 $A,B$ 处的切线，$P$ 为圆上不与 $A,B$ 重合的点，过 $P$ 点的切线交 $l_1,l_2$ 于 $C,D$ 两点，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $M(m,n)$．
【难度】
【出处】
2016年清华大学夏令营数学试题
【标注】
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求 $m$ 与 $n$ 之间的数量关系；标注答案$\dfrac{m^2}{16}+\dfrac{n^2}4=1$（$n\ne 0$）解析如图，设 $P$ 在 $x$ 轴上的投影为 $H$，则由梯形的性质可得其对角线的交点 $M$ 为线段 $PH$ 的中点．
因此 $m$ 与 $n$ 之间的数量关系为 $\dfrac{m^2}{16}+\dfrac{n^2}4=1$（$n\ne 0$）． -
存在一点 $Q(a,0)$ 且 $a>0$ 使得 $|QM|$ 的最小值是 $\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $a$ 的值．标注答案$\dfrac{3\sqrt 3}2$解析根据题意，有\[\begin{split}|QM|^2&=(m-a)^2+n^2\\
&=(m-a)^2+4-\dfrac 14m^2\\
&=\dfrac 34\left(m-\dfrac {4a}3\right)^2+4-\dfrac 13a^2,\end{split}\]由于 $n\ne 0,m<4$，因此只有\[\begin{cases}-4<\dfrac{4a}3<4,\\ 4-\dfrac 13a^2=\left(\dfrac {\sqrt{7}}2\right)^2,\end{cases}\]解得 $a=\dfrac{3\sqrt 3}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
