题目 已知直线 $l$ 为 $C:y=\dfrac{a+\ln x}{x}$ 在 $(1,a)$ 处的切线． 问题1 求 $l$ 的方程； 答案1 $y=(1-a)x+2a-1$ 解析1 记 $f(x)=\dfrac{a+\ln x}{x}$，则 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1-a-\ln x}{x^2},\]于是切线 $l$ 的方程为\[y=(1-a)x+2a-1.\] 备注1 问题2 求证：当 $a\leqslant 1$ 时，直线 $l$ 除切点外恒在 $C$ 的上方． 答案2 略 解析2 只需要证明当 $a\leqslant 1$ 时，有\[\forall x>0\land x\ne 1,\dfrac{a+\ln x}x<(1-a)x+2a-1,\]也即\[\forall x>0\land x\ne 1,(1-a)x^2+(2a-1)x-\ln x-a>0.\]记不等式左侧为函数 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{2(1-a)x+1}{x}\cdot (x-1),\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得极小值，亦为最小值\[\varphi(1)=0,\]从而原命题得证． 备注2