讨论关于 $x$ 的方程 $\left|x+\dfrac 1x\right|-\left|x-\dfrac 1x\right|=kx+1$ 的根的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases}1,&k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty),\\2,&k\in \{-1,1\},\\3,&k\in \left(-1,-\dfrac 18\right)\cup \left(\dfrac 18,1\right),\\4,&k\in\left\{-\dfrac 18,0,\dfrac 18\right\},\\5,&k\in \left(-\dfrac 18,0\right)\cup \left(0,\dfrac 18\right).\end{cases}$
【解析】
原方程的根的个数即函数 $y=\left|x+\dfrac 1x\right|-\left|x-\dfrac 1x\right|$ 的图象与直线 $y=kx+1$ 的交点个数．利用处理包含绝对值的函数的零点分段讨论法，不难将函数化简为$$y=\begin{cases}-\dfrac 2x,&x<-1\\-2x,&-1\leqslant x<0\\2x,&0<x\leqslant 1\\\dfrac 2x,&x>1\end{cases}$$进而画出函数的草图．另一方面，直线 $y=kx+1$ 恒过定点 $(0,1)$，如图．
经计算（利用导数或者联立都可以），可知其中 $k$ 的分界点为$$-1,-\dfrac 18,0,\dfrac 18,1,$$因此梳理出答案，根的个数为$$\begin{cases}1,&k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty),\\2,&k\in \{-1,1\},\\3,&k\in \left(-1,-\dfrac 18\right)\cup \left(\dfrac 18,1\right),\\4,&k\in\left\{-\dfrac 18,0,\dfrac 18\right\},\\5,&k\in \left(-\dfrac 18,0\right)\cup \left(0,\dfrac 18\right).\end{cases}$$
经计算（利用导数或者联立都可以），可知其中 $k$ 的分界点为$$-1,-\dfrac 18,0,\dfrac 18,1,$$因此梳理出答案，根的个数为$$\begin{cases}1,&k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty),\\2,&k\in \{-1,1\},\\3,&k\in \left(-1,-\dfrac 18\right)\cup \left(\dfrac 18,1\right),\\4,&k\in\left\{-\dfrac 18,0,\dfrac 18\right\},\\5,&k\in \left(-\dfrac 18,0\right)\cup \left(0,\dfrac 18\right).\end{cases}$$
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