已知函数 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$，其中 $a,b,c,d$ 为实常数，$f(x)$ 的图象经过三点 $A\left(2,\dfrac 12\right)$，$B\left(3,\dfrac 13\right)$，$C\left(4,\dfrac 14\right)$，求 $f(1)+f(5)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$25$
【解析】
令 $g(x)=xf(x)-1$，则 $x=2,3,4$ 是其零点且 $g(x)$ 是一个五次多项式函数．于是$$xf(x)-1=(x-2)(x-3)(x-4)\left(x^2+px+q\right).$$令 $x=0$ 可得$$q=\dfrac 1{24}.$$分别令 $x=1,5$ 可得$$f(1)-1=-6(1+p+q),5f(5)-1=6(25+5p+q),$$进而可得$$f(1)=-6p-6q-5,f(5)=6p+\dfrac 65q+30+\dfrac 15,$$两式相加，将 $q$ 的值代入，有$$f(1)+f(5)=25.$$
答案
解析
备注
