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如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，已知 $A=100^\circ$，$B$ 的角平分线交 $AC$ 于 $D$，求证：$AD+DB=BC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
【答案】
略
【解析】
几何方法在边 $BC$ 上作 $BE=AB$，$BF=BD$，连结 $DE,DF$，如图：则 $\triangle ABD$ 与 $\triangle EBD$ 全等，从而有$$AD=DE,\angle DEB=100^\circ.$$又因为$$ \angle DFB=\angle BDF=80^\circ=\angle DEF,$$所以 $ \angle DCB=40^\circ=\angle CDF $，从而有 $ DE=DF=AD=CF $，所以 $ BC=BF+FC=DB+AD$．
三角方法因为 $BC=2AB\cos 40^\circ$，在 $\triangle ABD$ 中，运用正弦定理得$$\dfrac {AD}{\sin 20^\circ}=\dfrac {AB}{\sin 60^\circ}=\dfrac {BD}{\sin 100^\circ},$$从而有$$AD+BD=\dfrac {\sin 20^\circ+\sin 100^\circ}{\sin 60^\circ}AB=\dfrac {2\sin 60^\circ\cos 40^\circ}{\sin 60^\circ}AB=BC.$$
答案 解析 备注
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