设 $a>b>0$，那么 $a^2+\dfrac{1}{b(a-b)}$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$$\begin{split}\dfrac{1}{b(a-b)}&=\dfrac 1a\left(\dfrac {1}{a-b}+\dfrac 1b\right)\\&=\dfrac {1}{a^2}\left(\dfrac {1}{a-b}+\dfrac 1b\right)(a-b+b)\\&=\dfrac {1}{a^2}\left(1+1+\dfrac {b}{a-b}+\dfrac {a-b}{b}\right)\\&\geqslant \dfrac {4}{a^2},\end{split}$$当且仅当 $a=2b$ 时等号成立，所以$$a^2+\dfrac{1}{b(a-b)}\geqslant a^2+\dfrac {1}{a^2}\geqslant 4,$$对第二个不等号，当 $a^2=2$ 时取等号．
因此，当 $a=\sqrt 2$，$b=\dfrac {\sqrt 2}{2}$ 时，原式取最小值 $4$．
因此，当 $a=\sqrt 2$，$b=\dfrac {\sqrt 2}{2}$ 时，原式取最小值 $4$．
题目
答案
解析
备注
