如图，在直角 $\triangle ABC$ 中，已知 $BC=a$．若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点，问 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据题意有\[\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CB}\\&\leqslant -a^2+a^2=0,\end{split}\]等号当且仅当 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{CB}$ 同向，即 $\theta=0$ 时取得．
答案
解析
备注
