在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $2a=b+c$．$O,I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心和内心，求证：$OI\perp AI$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据五心的向量的表示有\[\begin{split}\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{OI}&=\overrightarrow{AI}\cdot\left(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AO}\right)\\&=\left(\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}\right)^2-\left(\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AO}\\&=\dfrac{1}{(a+b+c)^2}\left(b^2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+2bc\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+c^2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}\right)-\dfrac{1}{a+b+c}\left(b\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO}+c\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO}\right)\\&=\dfrac{2b^2c^2+bc(b^2+c^2-a^2)}{(a+b+c)^2}-\dfrac{\dfrac 12bc^2+\dfrac 12b^2c}{a+b+c}\\&=\dfrac{bc(b+c-2a)}{2(a+b+c)}\\&=0.\end{split}\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
