在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $a<b<c$．$D,E$ 分别在边 $AB,AC$ 上，且 $BD=CE=a$，$O,I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心和内心，求证：$OI\perp DE$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用向量法证明，选 $A$ 为起点用向量换底公式有：\[\begin{split} \overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{DE}=&(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AO})\cdot(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})
\\=&(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AO})\cdot\left(\dfrac {b-a}b\overrightarrow{AC}-\dfrac {c-a}c\overrightarrow{AB}\right)
\\=&\left(\dfrac {b-a}b\overrightarrow{AC}-\dfrac {c-a}c\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac b{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac c{a+b+c}\overrightarrow{AC}\right)-\dfrac {b-a}{b}\cdot \dfrac 12b^2+\dfrac {c-a}c\cdot\dfrac 12c^2
\\=&\left(\dfrac {b-a}{a+b+c}-\dfrac {c-a}{a+b+c}\right)\cdot cb\cdot\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{bc(b-c)}{a+b+c}+\dfrac {(c-b)(c+b-a)}{2}
\\=&0.\end{split}\]
\\=&(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AO})\cdot\left(\dfrac {b-a}b\overrightarrow{AC}-\dfrac {c-a}c\overrightarrow{AB}\right)
\\=&\left(\dfrac {b-a}b\overrightarrow{AC}-\dfrac {c-a}c\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\dfrac b{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac c{a+b+c}\overrightarrow{AC}\right)-\dfrac {b-a}{b}\cdot \dfrac 12b^2+\dfrac {c-a}c\cdot\dfrac 12c^2
\\=&\left(\dfrac {b-a}{a+b+c}-\dfrac {c-a}{a+b+c}\right)\cdot cb\cdot\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{bc(b-c)}{a+b+c}+\dfrac {(c-b)(c+b-a)}{2}
\\=&0.\end{split}\]
答案
解析
备注
