已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{2015}>63$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先由初值 $a_1=1$，以及迭代函数 $y=x+\dfrac{1}{x}$ 的图象可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 发散．
考虑作差$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n},$$然而得到的结果是趋于 $0$ 的，这使得我们无法依此去估计 $a_{2015}$ 的取值下界．因此，可以尝试放大 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的距离．当然，按比例放大是不行的（比如说两边同时乘以 $10$ 是无效的）．事实上，方幂可以有效的将微小的差距扩大，因此两边平方有$$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2},$$于是可得$$a_{n+1}^2-a_n^2>2,$$进而有$$a_{2015}^2>2\cdot 2014+a_1^2=4029,$$两边开方就能推得欲证结论．当然，我们也可以将两边立方，但这样会“浪费”很多，最后得到的结果反而不如平方好了．
考虑作差$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n},$$然而得到的结果是趋于 $0$ 的，这使得我们无法依此去估计 $a_{2015}$ 的取值下界．因此，可以尝试放大 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的距离．当然，按比例放大是不行的（比如说两边同时乘以 $10$ 是无效的）．事实上，方幂可以有效的将微小的差距扩大，因此两边平方有$$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2},$$于是可得$$a_{n+1}^2-a_n^2>2,$$进而有$$a_{2015}^2>2\cdot 2014+a_1^2=4029,$$两边开方就能推得欲证结论．当然，我们也可以将两边立方，但这样会“浪费”很多，最后得到的结果反而不如平方好了．
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