设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=1$，$a_2=6$，$a_3=11$，且 $\left(5n-8\right)S_{n+1}-\left(5n+2\right)S_n=An+B$（$n\in\mathbb N^*$），其中 $A,B$ 是常数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $A$ 与 $B$ 的值；标注答案$A=-20$，$B=-8$解析分别令 $n=1$ 和 $n=2$ 可得 $A=-20$，$B=-8$．
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求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．标注答案$a_n=5n-4(n\in\mathbb N^*)$解析根据已知，有$$\begin{cases} (5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8,\\ (5n-3)S_{n+2}-(5n+7)S_{n+1}=-20(n+1)-8,\end{cases}$$两式相减可得$$(5n-3)S_{n+2}-(10n-1)S_{n+1}+(5n+2)S_n=-20,$$即$$(5n-3)\left(S_{n+2}-S_{n+1}\right)-(5n+2)\left(S_{n+1}-S_{n}\right)=-20,$$也即$$(5n-3)a_{n+2}-(5n+2)a_{n+1}=-20.$$
解法一 将上述等式变形为$$(5n-3)\left(a_{n+2}-4\right)-(5n+2)\left(a_{n+1}-4\right)=0,$$从而$$\dfrac{a_{n+2}-4}{a_{n+1}-4}=\dfrac{5n+2}{5n-3},$$进而由累乘法不难得到 $a_n=5n-4(n\in\mathbb N^*)$．解法二 由上述等式得$$(5n+2)a_{n+3}-(5n+7)a_{n+2}=-20,$$两式相减得$$(5n+2)a_{n+3}-(10n+4)a_{n+2}+(5n+2)a_{n+1}=0,$$即$$a_{n+3}-a_{n+2}=a_{n+2}-a_{n+1},$$于是数列 $\left\{a_n\right\}$ 从第 $2$ 项起为等差数列，进而可得 $a_n=5n-4(n\in\mathbb N^*)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
