数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}a_n+(n+2)a_{n+1}+na_n+n^2+2n+2=0$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac 4{3\cdot 2^n-4}-n,n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据已知，有$$\left(a_{n+1}+n\right)\left(a_n+n+2\right)=-2,$$令 $b_n=a_n+n+1$，则$$\left(b_{n+1}-2\right)\left(b_n+1\right)=-2,$$整理得$$\dfrac{2}{b_{n+1}}=\dfrac 1{b_n}+1,$$即$$\dfrac{2^{n+1}}{b_{n+1}}=\dfrac{2^n}{b_n}+2^n,$$令 $c_n=\dfrac{2^n}{b_n}$，得$$c_{n+1}=c_n+2^n,$$而$$c_1=\dfrac 2{b_1}=\dfrac 2{a_1+2}=\dfrac 23,$$从而$$c_n=\dfrac 23+2^n-2=2^n-\dfrac 43,n\in\mathbb N^*,$$因此$$b_n=\dfrac{2^n}{2^n-\dfrac 43},n\in\mathbb N^*,$$进而可得$$a_n=\dfrac 4{3\cdot 2^n-4}-n,n\in\mathbb N^*.$$
答案
解析
备注
