题目 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$． 问题1 若 $\forall n\in\mathbb N^*,S_n=\dfrac 12\left(a_n+\dfrac{1}{a_n}\right)$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1},n\in\mathbb N^*$ 解析1 当 $n=1$ 时，可得 $a_1=1$；<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，根据已知条件有$$S_n=\dfrac 12\left(S_n-S_{n-1}+\dfrac{1}{S_n-S_{n-1}}\right),$$整理得 $S_n^2-S_{n-1}^2=1$，从而有 $S_n^2=n,n\in\mathbb N^*$，进而不难解得 $a_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1},n\in\mathbb N^*$． 备注1 问题2 若 $\forall n\in\mathbb N^*,a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right)$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式． 答案2 $a_n=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\mathrm \pi} {2^n}},n\in\mathbb N^*$ 解析2 当 $n=1$ 时，可得 $a_1=1$；<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，根据已知条件有$$S_n-S_{n-1}=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right),$$整理得$$\dfrac{1}{S_{n-1}}=\dfrac{\dfrac 2{S_n}}{1-\dfrac{1}{S_n^2}}.$$联想到三角公式$$\tan{2x}=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2{x}},$$结合 $S_1=1=\tan\dfrac{\mathrm \pi} {4}$，可得$$\dfrac{1}{S_n}=\tan\dfrac{\mathrm \pi} {2^{n+1}},n\in\mathbb N^*,$$进而可得$$a_n=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\mathrm \pi} {2^n}},n\in\mathbb N^*.$$ 备注2 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$ 的关系式求数列的通项公式时，往往需要利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*$）将关系式转化为关于 $S_n$ 的递推公式，求出 $S_n$ 后再求解 $a_n$．<br/>每日一题[95]求数列通项．