若 $x,y>0$，证明：$\max\left\{x^y,y^x\right\}>\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x\leqslant y$．当 $y\geqslant 1$ 时，命题显然成立；当 $0<x\leqslant y<1$ 时，由于当 $y\to x$ 时，$x^y$ 和 $y^x$ 均趋于 $x^x$，且有$$x^y\leqslant x^x\leqslant y^x,$$因此只需要证明$$x^x>\dfrac 12.$$事实上，考虑到$$\left(x^x\right)'=\left({\mathrm e}^{x\ln x}\right)'=x^x\left(1+\ln x\right),$$于是当 $x=\dfrac{1}{\mathrm e}$ 时，$x^x$ 取得最小值为 $\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}$．接下来证明$$\left(\dfrac{1}{\mathrm e}\right)^{1/{\mathrm e}}>\dfrac 12,$$用分析法，只需要证明$$-\dfrac{1}{\mathrm e}>-\ln 2,$$也即$$1<\ln 2^{\mathrm e}.$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
