已知 $\forall x\in\mathbb R,a\cos x+b\cos{2x}\geqslant -1$，求 $a+b$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $2$，最小值为 $-1$
【解析】
先尝试通过适当的赋值，得到对 $a+b$ 的上界和下界的估计．
令 $\cos{2x}=\cos x$，解得$$\cos x=1\lor \cos x=-\dfrac 12,$$对应有$$\begin{cases}a+b\geqslant -1,\\-\dfrac 12\left(a+b\right)\geqslant -1.\end{cases}$$从而可得$$-1\leqslant a+b\leqslant 2.$$接下来尝试将上下界确定为最值．利用判别式可构造出：
$(1)$ 当 $(a,b)=\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$ 时，有$$-\dfrac 23\cos x-\dfrac 13\cos 2x+1=\dfrac 23(1-\cos x)(2+\cos x)\geqslant 0,$$于是 $a+b$ 可以取到 $-1$；
$(2)$ 当 $(a,b)=\left(\dfrac 43,\dfrac 23\right)$ 时，有$$\dfrac 43\cos x+\dfrac 23\cos 2x+1=\dfrac 43\left(\cos x+\dfrac 12\right)^2\geqslant 0,$$于是 $a+b$ 可以取到 $2$．
综上所述，$a+b$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-1$．
令 $\cos{2x}=\cos x$，解得$$\cos x=1\lor \cos x=-\dfrac 12,$$对应有$$\begin{cases}a+b\geqslant -1,\\-\dfrac 12\left(a+b\right)\geqslant -1.\end{cases}$$从而可得$$-1\leqslant a+b\leqslant 2.$$接下来尝试将上下界确定为最值．利用判别式可构造出：
$(1)$ 当 $(a,b)=\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$ 时，有$$-\dfrac 23\cos x-\dfrac 13\cos 2x+1=\dfrac 23(1-\cos x)(2+\cos x)\geqslant 0,$$于是 $a+b$ 可以取到 $-1$；
$(2)$ 当 $(a,b)=\left(\dfrac 43,\dfrac 23\right)$ 时，有$$\dfrac 43\cos x+\dfrac 23\cos 2x+1=\dfrac 43\left(\cos x+\dfrac 12\right)^2\geqslant 0,$$于是 $a+b$ 可以取到 $2$．
综上所述，$a+b$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-1$．
答案
解析
备注
