解关于 $x$ 的方程 $x^3+px+q=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
解决问题的关键是关于 $t+\dfrac 1t$ 的恒等式$$\left(t+\dfrac 1t\right)^3=t^3+\dfrac 1{t^3}+3\left(t+\dfrac 1t\right).$$简单的情形 如果 $p=-3$，那么我们可以换元 $x=t+\dfrac 1t$，将方程转化为$$t^3+\dfrac 1{t^3}+q=0,$$即$$(t^3)^2+q\cdot t^3+1=0,$$进而利用二次方程的求根公式求得 $t^3$，求出 $t$，然后代回 $x=t+\dfrac 1t$，求根过程就完成了．
进一步的处理 现在面临的困难是如何处理 $p$，解决的方法是对换元进行一个小小的改造．由于$$\left(t+\dfrac ut\right)^3=t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+3u\left(t+\dfrac ut\right),$$因此令 $x=t+\dfrac ut$，其中 $u$ 为待定系数，那么原方程变为$$t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+(3u+p)\cdot\left(t+\dfrac ut\right)+q=0.$$在这个方程中，令 $u=-\dfrac p3$，就会和之前一样变成一个关于 $t^3$ 的二次方程$$(t^3)^2+q\cdot t^3-\dfrac{p^3}{27}=0,$$剩下来的步骤与之前的相同．
答案
解析
备注
