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设函数 $f(x)=\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}$，则 \((\qquad)\)
A: $f(x)\leqslant \dfrac 43$
B: $\left|f(x)\right|\leqslant 5|x|$
C: 曲线 $y=f(x)$ 存在对称轴
D: 曲线 $y=f(x)$ 存在对称中心
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的有界性
【答案】
ABC
【解析】
选项 A考虑到分子的取值范围是 $[-1,1]$，分母的取值范围是 $\left[\dfrac 34,+\infty\right)$，于是其最大值为 $\dfrac 43$，在 $x=\dfrac 12$ 处取得；
选项 B $\left|\dfrac{f(x)}{x}\right|=\left|\dfrac{\sin{\pi x}}{\pi x}\right|\cdot \dfrac{\pi}{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34}\leqslant \dfrac {4\pi}3<5$，因此选项B正确；
选项 C函数 $f(x)=\dfrac{\sin{\pi x}}{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34}$，对称轴为 $x=\dfrac 12$；
选项 D若函数 $f(x)$ 有对称中心，那么它必然为周期函数，矛盾．
题目 答案 解析 备注
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