求关于 $x$ 的方程 $x^5+10x^3+20x-4=0$ 的所有复数根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x=\left(2^{\frac 35}-2^{\frac 25}\right)\cos\dfrac{2k{\mathrm \pi}}{5}+{\mathrm i}\left(2^{\frac 35}+2^{\frac 25}\right)\sin\dfrac{2k{\mathrm \pi}}{5},k=0,1,2,3,4.$
【解析】
令 $x=t-\dfrac 2t$，代入方程中化简得$$t^5-\dfrac {32}{t^5}-4=0,$$即$$(t^5+4)(t^5-8)=0,$$所以 $t^5=-4$ 或 $t^5=8$．不妨取 $t^5=8$ 的五个复数根$$t_k=2^{\frac 35}\left(\cos\dfrac {2k\pi}5+{\mathrm i}\sin\dfrac {2k\pi}5\right),k=0,1,2,3,4$$得到 $x$ 的五个复数根$$x_k=\left(2^{\frac 35}-2^{\frac 25}\right)\cos\dfrac{2k{\mathrm \pi}}{5}+{\mathrm i}\left(2^{\frac 35}+2^{\frac 25}\right)\sin\dfrac{2k{\mathrm \pi}}{5},k=0,1,2,3,4.$$
答案
解析
备注
