已知$$\dfrac{a}{k^2+1}+\dfrac{b}{k^2+2}+\dfrac{c}{k^2+3}+\dfrac{d}{k^2+4}+\dfrac{e}{k^2+5}+\dfrac{f}{k^2+6}=\dfrac{1}{k^2}$$对 $k=1,2,3,4,5,6$ 均成立，求 $a+b+c+d+e+f$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{719}{720}$
【解析】
令 $x=k^2$，通分，有$$ax(x+2)(x+3)\cdots (x+6)+bx(x+1)(x+3)\cdots (x+6)+\cdots =(x+1)(x+2)\cdots (x+6),$$即$$(a+b+c+d+e+f-1)x^6+(\cdots )x^5+\cdots -6!=0.$$这个六次方程的根分别为 $1^2,2^2,\cdots,6^2$，于是由韦达定理$$1^2\cdot 2^2\cdots 6^2=\frac{-6!}{a+b+c+d+e+f-1},$$进而解得$$a+b+c+d+e+f=\dfrac{719}{720}.$$
答案
解析
备注
