在平面直角坐标系 $xOy$ 的第一象限有点 $P$，满足 $OP=1$ 且直线 $OP$ 的倾斜角为 $30^\circ$，过 $P$ 任意作一条直线分别交 $x,y$ 轴于点 $M,N$，求 $OM+ON-MN$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 1+\sqrt 3-\sqrt[4]{12} $
【解析】
先从几何层面分析最大值在何时取得，然后从代数层面进行计算．
几何分析 过点 $P$ 作与 $x$ 轴与 $y$ 轴均相切的圆 $I$（取半径较小者），设与 $x,y$ 轴分别相切于 $A,B$，圆 $I$ 的半径为 $r$，如图．
当过 $P$ 的直线与圆 $I$ 相交时，设圆 $I$ 的与该直线平行的切线与 $x,y$ 轴分别交于 $M',N'$，切点为 $T$．那么有$$OM'+ON'-M'N'=OA+AM'+OB+BN'-(M'T+N'T)=2r.$$作平行四边形 $MM'QN$，则可得$$\begin{split} OM'+ON'-(OM+ON)=&MM'+NN'\\=&NQ+NN'\\>&N'Q=M'N'-MN,\end{split} $$从而有 $OM+ON-MN<2r$．而当过 $P$ 的直线与圆 $I$ 相切于 $P$ 点时，有 $OM+ON-MN=2r$，因此所求的最大值即 $2r$．
代数计算 设 $\triangle MON$ 内切圆的圆心为 $C(r,r)$，而 $P(\cos 30^\circ,\sin 30^\circ)$，于是$$(r-\cos 30^\circ)^2+(r-\sin 30^\circ)^2=r^2,$$即$$r^2-2(\sin 30^\circ+\cos 30^\circ)r+1=0,$$解得 $r=\sin 30^\circ+\cos 30^\circ-\sqrt{\sin 60^\circ}$，从而题中所求为 $2r=1+\sqrt 3-\sqrt[4]{12}$．
当过 $P$ 的直线与圆 $I$ 相交时，设圆 $I$ 的与该直线平行的切线与 $x,y$ 轴分别交于 $M',N'$，切点为 $T$．那么有$$OM'+ON'-M'N'=OA+AM'+OB+BN'-(M'T+N'T)=2r.$$作平行四边形 $MM'QN$，则可得$$\begin{split} OM'+ON'-(OM+ON)=&MM'+NN'\\=&NQ+NN'\\>&N'Q=M'N'-MN,\end{split} $$从而有 $OM+ON-MN<2r$．而当过 $P$ 的直线与圆 $I$ 相切于 $P$ 点时，有 $OM+ON-MN=2r$，因此所求的最大值即 $2r$．
答案
解析
备注
