已知 $\triangle ABC$ 中，$AB:AC=\sqrt 2:1$，$BC=2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 2\sqrt 2 $
【解析】
设 $AC=x$，$AB=\sqrt 2x$，则由余弦定理可得$$\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{3x^2-4}{2\sqrt 2x^2},$$从而三角形面积$$\begin{split} S=&\dfrac 12\sin A\cdot AB\cdot AC\\=&\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{8x^4-(3x^2-4)^2}}{2\sqrt 2x^2}\cdot \sqrt 2x\cdot x\\=&\dfrac{\sqrt{-x^4+24x^2-16}}{4}\leqslant 2\sqrt 2,\end{split} $$等号当 $x=2\sqrt 3$ 时取得．因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $2\sqrt 2$．
答案
解析
备注
