已知菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$AB=5$，$AC=6$，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上，$AE=CF=\dfrac 54$，$EF$ 交 $BD$ 于点 $H$．将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置，$OD'=\sqrt{10}$，求二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值．
【难度】
【出处】
2016年高考全国甲卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{95}}{25}$
【解析】
容易计算得 $AO=3$，$BO=4$．由 $AE=CF=\dfrac 54$ 可得$$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{OH}{HD}=\dfrac{CF}{FD}=\dfrac 13,$$于是 $OH=1$，$HD'=3$，$OD'=\sqrt{10}$，进而 $D'H\perp$ 平面 $ABC$，$CD'=\sqrt{19}$，$BD'=\sqrt{34}$．于是$$\cos\angle BD'C=\cos\angle BD'A=\dfrac{34+19-25}{2\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}}=\dfrac{14}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}},$$而$$\cos\angle CD'A=\dfrac{19+19-36}{2\cdot\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}}=\dfrac{1}{19}.$$于是$$\sin\angle BD'A=\dfrac{15\sqrt{2}}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}},\sin\angle CD'A=\dfrac{6\sqrt{10}}{19},$$根据三射线定理，有$$\dfrac{14}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}}=\dfrac{14}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}}\cdot\dfrac{1}{19}+\dfrac{15\sqrt{2}}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{19}}\cdot\dfrac{6\sqrt{10}}{19}\cdot\cos\theta,$$其中 $\theta=B-D'A-C$．易得 $\cos\theta=\dfrac{7}{5\sqrt 5}$，于是 $\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{95}}{25}$．
答案
解析
备注
