若不等式 $\dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac 1x>\dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac kx$ 在 $x>0$ 且 $x\neq 1$ 时恒成立，求 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,0]$
【解析】
首先处理不等式，原不等式等价于$$\dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac 1x-\dfrac{\ln x}{x-1}-\dfrac kx>0,$$整理得$$-\dfrac{2}{x^2-1}\cdot\ln x+\dfrac{1-k}x>0,$$提因式，有$$-\dfrac{1}{x^2-1}\cdot\left[2\ln x+(k-1)\left(x-\dfrac 1x\right)\right]>0.$$设$$f(x)=2\ln x+(k-1)\cdot\left(x-\frac 1x\right),$$则题中不等式等价于$$\begin{cases} \forall x\in (0,1), f(x)>0,\\ \forall x\in (1,+\infty),f(x)<0.\end{cases}$$函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\frac 1{x^2}\cdot\left[(k-1)x^2+2x+k-1\right],$$注意到 $f(1)=0$，而 $f'(1)=2k$，于是按 $k$ 与 $0,1$ 的大小关系讨论．
情形一 $k\geqslant 1$．在区间 $(0,1)$ 上，$f'(x)>0$，进而有 $f(x)<f(1)=0$，不符合题意；
情形二 $0<k<1$．在区间 $\left(\dfrac{-2+\sqrt{4-4(k-1)^2}}{2(k-1)},1\right)$ 上，$f'(x)>0$，进而有 $f(x)<f(1)=0$，不符合题意；
情形三 $k\leqslant 0$．此时在区间 $(0,+\infty)$ 上均有 $f'(x)\leqslant 0$，因此函数 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的单调递减函数，结合 $f(1)=0$，符合题意．
综上所述，$k$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
综上所述，$k$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
答案
解析
备注
