题目 已知 $f(x)=x^2+ax+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$． 问题1 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上是单调递增函数，求 $a$ 的取值范围． 答案1 $\left[-\dfrac{\pi}2,+\infty\right)$ 解析1 由题意知$$f'(x)=2x+a-\dfrac {\pi}2\cos\dfrac {\pi}2x\geqslant 0$$对 $x\in (0,1)$ 恒成立，即$$\forall x\in (0,1),-a\leqslant 2x+\dfrac {\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}2x.$$设函数$$g(x)=2x+\dfrac {\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}2x,x\in[0,1],$$则$$g'(x)=2-\dfrac {\pi^2}4\sin\dfrac {\pi}2x,$$在 $(0,1)$ 上单调递减，而 $g'(0)>0,g'(1)<0$，所以 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上先增后减，最小值在端点处取到，即$$g(x)_{\min}=\min\{g(0),g(1)\}=\dfrac {\pi}2,$$所以 $-a\leqslant \dfrac {\pi}2$，得到 $a\geqslant -\dfrac {\pi}2$． 备注1 问题2 当 $a=-2$ 时，$f(x)\geqslant f(x_0)$ 恒成立，若 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2> 2x_0$． 答案2 略 解析2 $f(x_1)=f(x_2)$ 可以整理得$$(x_1+x_2)-2+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi(x_1+x_2)}4>0,$$因为 $f'(x)=2x-2+\dfrac {\pi}2\cos\dfrac {\pi}2x$，且 $f'(x_0)=0$，所以有$$f'(x_0)=0<f'\left(\dfrac {x_1+x_2}2\right).$$对 $f'(x)$ 求导得$$f''(x)=2-\dfrac {\pi^2}4\sin\dfrac {\pi}2x,$$于是 $f''(x)$ 单调递减，又 $f''(0)>0,f''(1)<0$，所以 $f''(x)$ 存在唯一零点 $m$，且有 $f'(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,1)$ 上单调递减．<br/>而 $f'(0)<0,f'(1)=0$，所以 $x_0\in (0,m)$，且当 $x\in(0,x_0)$ 时，$f'(x)<0$，当 $x\in(x_0,1)$ 时，$f'(x)>0$，所以有\[\dfrac{x_1+x_2}2>x_0.\] 备注2 每日一题[91] $f(x_1)=f(x_2)$ 的处理方法的练习．