已知抛物线 $y^2=2px$ $(p>0)$，$AB$ 为过抛物线焦点 $F$ 的弦，$AB$ 的中垂线交抛物线 $E$ 于点 $M,N$．若 $A,M,B,N$ 四点共圆，求直线 $AB$ 的方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$y=\pm x\mp \dfrac p2$
【解析】
设圆的两条弦所在直线的交点为 $P(x_0,y_0)$，过 $P$ 的直线 $l:\begin{cases}x=x_0+t,\\y=y_0+kt,\end{cases}$ 则与抛物线联立可得$$(y_0+kt)^2=2p(x_0+t),$$整理得$$k^2t^2+(2y_0k-2p)t+y_0^2-2px_0=0.$$于是$$t_1t_2=\frac{y_0^2-2px_0}{k^2}.$$当 $k$ 取 $k_{AB}$ 时，设方程的两根为 $t_A,t_B$；
当 $k$ 取 $k_{MN}$ 时，设方程的两根为 $t_M,t_N$，根据圆幂定理，有$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot t_A\cdot \sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot t_B= \sqrt{1+k_{MN}^2}\cdot t_M\cdot \sqrt{1+k_{MN}^2}\cdot t_N,$$进而可得 $\dfrac{1+k_{AB}^2}{k_{AB}^2}=\dfrac{1+k_{MN}^2}{k_{MN}^2}$，因此 $k_{AB}=-k_{MN}$．结合本题已知 $AB\perp MN$，于是 $k_{AB}=\pm 1$，进而直线 $AB$ 的方程为 $y=\pm x\mp \dfrac p2$．
当 $k$ 取 $k_{MN}$ 时，设方程的两根为 $t_M,t_N$，根据圆幂定理，有$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot t_A\cdot \sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot t_B= \sqrt{1+k_{MN}^2}\cdot t_M\cdot \sqrt{1+k_{MN}^2}\cdot t_N,$$进而可得 $\dfrac{1+k_{AB}^2}{k_{AB}^2}=\dfrac{1+k_{MN}^2}{k_{MN}^2}$，因此 $k_{AB}=-k_{MN}$．结合本题已知 $AB\perp MN$，于是 $k_{AB}=\pm 1$，进而直线 $AB$ 的方程为 $y=\pm x\mp \dfrac p2$．
答案
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