设 $A,B$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{2}=\lambda$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线交双曲线于 $C,D$ 两点．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
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确定 $\lambda$ 的取值范围；标注答案$(-1,0)\cup (0,+\infty)$解析由双曲线的垂径定理得$$k_{AB}\cdot k_{ON}=2k_{AB}=\dfrac {b^2}{a^2}=2,$$所以 $k_{AB}=1$，所以直线 $AB$ 与它的中垂线的方程分别为$$y=x+1,y=3-x.$$这两条直线都与双曲线相交，由等效判别式得$$\begin{cases} -\lambda +2\lambda+1>0,\\-\lambda+2\lambda+9>0,\end{cases} $$解得 $\lambda>-1$，又 $\lambda\ne 0$，所以 $\lambda\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$．
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试判断 $A,B,C,D$ 是否四点共圆？并说明理由．标注答案$A,B,C,D$ 四点共圆解析令过点 $N$ 的直线的参数方程为$$\begin{cases} x=1+t,\\y=2+kt,\end{cases}$$与双曲线联立消元得$$(2-k^2)t^2+4(1-k)t-(2+2\lambda)=0,$$从而$$t_1t_2=\dfrac{2(1+\lambda)}{k^2-2}.$$所以当 $k=\pm 1$ 时，有$$|NA|\cdot|NB|=|NC|\cdot|ND|=-(1+k^2)t_1t_2=4(1+\lambda).$$由圆幂定理知 $A,B,C,D$ 四点共圆．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
