证明：从椭圆焦点出发的光线，经过椭圆反射后反射光线必经过另一个焦点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设反射点为 $T$，反射面为 $MN$．
利用同一法，命题等价于证明若 $\angle MTF_1=\angle NTF_2$，那么 $MN$ 为切线．
显然 $MN$ 上存在椭圆上的点（点 $T$），因此 $MN$ 或者与椭圆相切，或者与椭圆相交．我们只需要证明直线 $MN$ 上不存在椭圆除 $T$ 以外的其他点．用反证法，假设直线 $MN$ 上存在除 $T$ 以外的椭圆上的点 $P$，则 $PF_1+PF_2=2a$（椭圆定义）．作 $F_2$ 关于 $MN$ 对称的点 $F_2'$，则 $F_1,T,F_2'$ 共线，于是$$F_1F_2'=F_1T+TF_2=2a.$$于是 $PF_1+PF_2'>F_1F_2'=2a$（三角形两边之和大于第三边），矛盾．因此直线 $MN$ 上不存在除 $T$ 以外的椭圆上的点，也即直线 $MN$ 与椭圆相切．
综上所述，原命题得证．
利用同一法，命题等价于证明若 $\angle MTF_1=\angle NTF_2$，那么 $MN$ 为切线．显然 $MN$ 上存在椭圆上的点（点 $T$），因此 $MN$ 或者与椭圆相切，或者与椭圆相交．我们只需要证明直线 $MN$ 上不存在椭圆除 $T$ 以外的其他点．用反证法，假设直线 $MN$ 上存在除 $T$ 以外的椭圆上的点 $P$，则 $PF_1+PF_2=2a$（椭圆定义）．作 $F_2$ 关于 $MN$ 对称的点 $F_2'$，则 $F_1,T,F_2'$ 共线，于是$$F_1F_2'=F_1T+TF_2=2a.$$于是 $PF_1+PF_2'>F_1F_2'=2a$（三角形两边之和大于第三边），矛盾．因此直线 $MN$ 上不存在除 $T$ 以外的椭圆上的点，也即直线 $MN$ 与椭圆相切．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
