证明：从抛物线焦点出发的光线，经过抛物线反射后反射光线必然与其对称轴平行（或重合）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设抛物线方程为 $y^2=2px$，从抛物线焦点出发的光线 $FP$ 经抛物线上的点 $P(m,n)$ 反射后的光线为 $PQ$，过点 $P$ 的抛物线的切线交 $x$ 轴于点 $A$，点 $P$ 在准线上的射影为 $P'$，连接 $AP',PP'$，如图，
过点 $ P $ 的抛物线的切线方程为 $my=p(x+m)$，所以点 $A(-m,0)$，而 $P'\left(-\dfrac p2,n\right)$，所以$$|P'A|=\sqrt{\left(m-\dfrac p2\right)^2+n^2}=\sqrt{m^2-pm+\dfrac 14p^2+2pm}=m+\dfrac p2,$$所以$$ |P'A|=|FA|,|PA|=|PA|,|PF|=|PP'|,$$从而有 $\triangle PAF$ 与 $\triangle PAP'$ 全等，所以$$ \angle FPA=\angle P'PA,$$所以 $P',P,Q$ 三点共线，命题得证．
也可以连接 $P'F$，通过斜率证明 $PA\perp P'F$，从而得到角度相等．
过点 $ P $ 的抛物线的切线方程为 $my=p(x+m)$，所以点 $A(-m,0)$，而 $P'\left(-\dfrac p2,n\right)$，所以$$|P'A|=\sqrt{\left(m-\dfrac p2\right)^2+n^2}=\sqrt{m^2-pm+\dfrac 14p^2+2pm}=m+\dfrac p2,$$所以$$ |P'A|=|FA|,|PA|=|PA|,|PF|=|PP'|,$$从而有 $\triangle PAF$ 与 $\triangle PAP'$ 全等，所以$$ \angle FPA=\angle P'PA,$$所以 $P',P,Q$ 三点共线，命题得证．也可以连接 $P'F$，通过斜率证明 $PA\perp P'F$，从而得到角度相等．
答案
解析
备注
