已知椭圆 $M:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，点 $F_1,C$ 分别是椭圆 $M$ 的左焦点、左顶点，过点 $F_1$ 的直线 $l$（不与 $x$ 轴重合）交 $M$ 于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $M$ 的离心率及短轴长；标注答案$e=\dfrac 12$，$2b=2\sqrt 3$解析$e=\dfrac 12$，$2b=2\sqrt 3$．
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是否存在直线 $l$，使得点 $B$ 在以线段 $AC$ 为直径的圆上，若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．标注答案不存在直线 $l$，使得点 $B$ 在以线段 $AC$ 为直径的圆上解析不存在直线 $l$，使得点 $B$ 在以线段 $AC$ 为直径的圆上，证明如下．
原问题即 $\angle ABC$ 是否可能为直角，我们接下来通过证明 $\angle ACB$ 恒为钝角来否定 $\angle ABC$ 为直角的可能性．将坐标系平移至以 $C$ 为原点，记新原点为 $C'$，则椭圆方程变为$$\dfrac{\left(x'-2\right)^2}{4}+\dfrac{y'^2}3=1,$$即$$\dfrac 14x'^2-x'+\dfrac 13y'^2=0.$$此时 $F_1'(1,0)$，因此可设直线 $A'B':x'+ny'=1$，与椭圆方程化齐次联立，有$$\dfrac 14x'^2-x'\left(x'+ny'\right)+\dfrac 13y'^2=0,$$也即$$\frac 13\left(\frac{y'}{x'}\right)^2-n\cdot\frac{y'}{x'}-\frac 34=0,$$于是$$k_{C'A'}\cdot k_{C'B'}=-\frac 94.$$此时取与 $\overrightarrow{CA}$ 同向的向量 $(1,k_{C'A'})$ 以及和 $\overrightarrow{CB}$ 同向的向量 $(1,k_{C'B'})$，它们的数量积$$(1,k_{C'A'})\cdot (1,k_{C'B'})=1+k_{C'A'}\cdot k_{C'B'}=-\dfrac 54<0,$$因此 $\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{CB}$ 的夹角为钝角，也即 $\angle ACB$ 为钝角，欲证命题成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
