已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．过椭圆右顶点 $A$ 的两条斜率乘积为 $-\dfrac 14$ 的直线分别交椭圆 $C$ 于 $M,N$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析略
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直线 $MN$ 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．标注答案定点坐标为 $(0,0)$解析由 $(1)$ 知 $A(2,0)$，将坐标原点平移到点 $A$，得到新的平面直角坐标系 $x'Ay'$，在新坐标系下椭圆方程为$$\dfrac {(x'+2)^2}4+{y'}^2=1,$$即$$\dfrac 14{x'}^2+y'^2+x'=0.$$设在新坐标系下直线 $MN$ 的方程为 $mx'+ny'=1$，化齐次联立得$$\dfrac 14{x'}^2+y'^2+x'(mx'+ny')=0,$$即$$\left(\dfrac {y'}{x'}\right)^2+n\cdot\dfrac {y'}{x'}+\dfrac 14+m=0,$$因为 $k_{AM}\cdot k_{AN}=-\dfrac 14$，所以$$\dfrac 14+m=-\dfrac 14,$$解得 $m=-\dfrac 12$，所以直线 $MN$ 恒过定点 $(-2,0)$，在 $xOy$ 坐标系中为定点 $O(0,0)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
