已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，直线 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，点 $M$ 在椭圆上，$\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}$，求椭圆方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$
【解析】
由于离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，于是 $a^2=4b^2$，因此可设 $A\left(2b\cos\alpha,b\sin\alpha\right)$，$B\left(2b\cos\beta,b\sin\beta\right)$．于是由 $\overrightarrow{OM}=\dfrac 12\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt 3}2 \overrightarrow{OB}$ 可得$$M\left(b\cdot\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right),b\left(\dfrac 12\sin\alpha+\dfrac{\sqrt 3}2\sin\beta\right)\right),$$点 $M$ 在椭圆上，于是可得$$\dfrac{\left(\cos\alpha+\sqrt 3\cos\beta\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sin\alpha+\sqrt 3\sin\beta\right)^2}{4}=1,$$化简得$$\cos\left(\alpha-\beta\right)=0.$$另一方面，点 $A$ 在直线 $y=\dfrac 12x+1$ 上，可得$$b\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot2b\cos\alpha+1,$$即$$\dfrac 1b=\sin\alpha-\cos\alpha,$$类似的，有 $\dfrac 1b=\sin\beta-\cos\beta$．因此有$$\begin{split} \dfrac{1}{b^2}=&\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)\left(\sin\beta-\cos\beta\right)\\=&\cos\left(\alpha-\beta\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)\\=&-\sin\left(\alpha+\beta\right).\end{split}$$而同时$$\sin\alpha-\sin\beta=\cos\alpha-\cos\beta,$$和差化积，可得 $\tan{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=-1$，代入上式，可得 $b^2=1$，于是所求的椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．
答案
解析
备注
