题目 已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1>2$，$a_{n+1}=a_n^2-2$． 问题1 求证：$\{a_n\}$ 是单调递增数列； 答案1 略 解析1 考虑到递推公式即$$\dfrac 12a_{n+1}=2\left(\dfrac 12a_n\right)^2-1,$$于是令 $\dfrac 12a_n=\cosh x_n$，其中 $\cosh x=\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}2$（即双曲余弦函数），则 $x_{n+1}=2x_n$，因此可以将 $a_1$ 改写为 $a+\dfrac 1a$ 的形式，以利于递推．<br/>令 $a_1=a+\dfrac 1a$，其中 $0<a<1$，则易得$$a_n=a^{2^{n-1}}+\dfrac{1}{a^{2^{n-1}}},$$从而 $a_n>2$．因此$$a_{n+1}-a_n=(a_n-2)(a_n+1)>0,$$于是 $\{a_n\}$ 是单调递增数列． 备注1 问题2 设 $b_n=\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$，且 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和小于 $\dfrac 12$，求 $a_1$ 的取值范围． 答案2 $\left[\dfrac 52,+\infty\right)$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\begin{split} b_n&=\dfrac{a^{1+2+\cdots+2^{n-1}}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\\ &=\dfrac{a^{2^n-1}}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})} \\ &=\dfrac 1a\left[\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})}-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^{n-1}})(1+a^{2^n})}\right] ,\end{split}\]因此 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和$$S_n=\dfrac 1a\left[1-\dfrac{1}{(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})}\right]=\dfrac 1a\left(1-\dfrac{1-a^2}{1-a^{2^{n+1}}}\right)=\dfrac{a-a^{2^{n+1}-1}}{1-a^{2^{n+1}}}.$$由于 $\{S_n\}$ 单调递增，因此只需要其极限$$\lim_{n\to +\infty}S_n\leqslant \dfrac 12,$$即 $a\leqslant \dfrac 12$，于是 $a_1$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 52,+\infty\right)$． 备注2 每日一题[503]裂项求和．