已知函数 $f(x)=x|x-a|$（$a>0$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
不等式 $f(x)\leqslant 1$ 在 $[0,m]$ 上恒成立，当 $m$ 取得最大值时，求 $a$ 的值；标注答案$2$解析函数 $f(x)$ 的图象如图所示，“拱形”的高度为 $\dfrac{a^2}4$．
情形一 当 $\dfrac{a^2}{4}>1$ 时，直线 $y=1$ 穿过“拱形”，于是 $m$ 的最大值为方程$$-x^2+ax=1$$的较小根，为 $\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2$，显然有$$\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2=\dfrac{2}{a+\sqrt{a^2-4}}<1;$$
情形二 当 $\dfrac{a^2}{4}\leqslant 1$ 时，直线 $y=1$ 不穿过“拱形”，于是 $m$ 的最大值为方程$$x^2-ax=1$$的较大根，为 $\dfrac{a+\sqrt{a^2+4}}2$，有$$\dfrac{a+\sqrt{a^2+4}}2\leqslant 1+\sqrt 2,$$当 $a=2$ 时取得等号．
综上所述，当 $a=2$ 时，$m$ 取得最大值 $1+\sqrt 2$． -
在 $(1)$ 的条件下，若对于任意 $x\in\mathbb R$，不等式 $f(x+t)\geqslant f(x)-t$（$t>0$）恒成立，求 $t$ 的取值范围．标注答案$[1,+\infty)$解析相当于将 $y=f(x)$ 的图象沿向量 $(-t,t)$ 平移后得到的图象在原函数图象上方．问题的关键还是在使得“拱形”安全撤离上．
“拱形”的左侧只要稍加平移就能满足条件，因此核心困难在于“拱形”的右侧，单独考虑 $x=2-t$ 处，此时有$$f(2)\geqslant f(2-t)-t,$$即$$0\geqslant t(2-t)-t,$$解得 $t\geqslant 1$．
事实上，当 $t=1$ 时，画出函数图象可知“拱形”已经安全撤离．因此接下来我们证明当 $t\geqslant 1$ 时，题中不等式恒成立．情形一 当 $x<0$ 或 $x>2$ 时，由于函数 $f(x)$ 当 $x<0$ 或 $x>2$ 时单调递增．
于是当 $x>2$ 或 $\begin{cases} x<0,\\x+t\leqslant 0\end{cases}$ 时，有 $f(x+t)>f(x)$；
当 $\begin{cases} x<0,\\x+t>0\end{cases}$ 时，有 $f(x+t)>0>f(x)$；
综上知，$$f(x+t)>f(x)>f(x)-t,$$不等式成立；情形二 当 $0\leqslant x\leqslant 2$ 时，有$$f(x+t)+t\geqslant 1\geqslant f(x),$$不等式成立．
综上所述，$t$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
